Đề thi Olympic trại hè phương nam lần thứ 5 năm 2018

Đề hơi mờ các bạn thông cảm, bản latex sẽ được cập nhật sớm! (đã cập nhật phía dưới!)
__________________________________

Nguồn: fb


Bản $/LaTex$ cập nhật hết sớm thôi!

Sở giáo dục và Đào tạo Kiên Giang

Kỳ thi Olympic Trại hè Phương Nam lần thứ 5

MÔN: TOÁN

Thời gian: 180 phút

Ngày thi: 19/7/2018

________________________________________________

1. (4đ) Giải hệ phương trình sau trên tập các số thực:

                    $\{\begin{array}{ccc}{x}^2+y=x{y}^2& & \\ 2x^{2}y+y^2=x+y+3xy& & \end{array}$

2. (3đ) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=12$. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3\ge \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$

Dấu "=" xảy ra khi nào ?

3. (4đ) Đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ tiếp xúc với các cạnh $BC,CA,AB$ lần lượt tại $P,K,N$. Đoạn thẳng $BK$cắt đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ tại điểm $L$ (khác $K$). Gọi $T$ là giao điểm của $AL$ và $KN$, $Q$ là giao điểm của $CL$ và $KP$. Chứng minh rằng các đường thẳng $BK$, $NQ$ và $PT$ đồng quy.

4. (3đ) Cho các số nguyên dương $x,y$ sao cho $x^4+x^2{y}^2+y^4$ là một bội của 11. Chứng minh rằng số này là một bội của 14641.

5. (3đ) Tìm tất cả các hàm $f$ từ tập các số nguyên dương vào tập các số nguyên dương thỏa mãn tính chất: $f\left(m\right)+f\left(n\right)$ là ước của $2(m+n-1)$ với mọi $m,n$ nguyên dương.

6. (3đ) Cho 19 miếng bìa hình chữ nhật (không nhất thiết có kích thước khác nhau) với các cạnh là các số nguyên dương không vượt quá 18. Chứng minh rằng có thể tìm được 3 miếng bìa $A,B,C$ sao cho có thể đặt $A$ nằm bên trong$B$, và $B$ nằm bên trong $C$. (Miếng bìa $X$ nằm trong miếng bìa $Y$ nếu không có phần nào của miếng bìa $X$ nằm hoàn toàn bên ngoài $Y$).